Sierpinski creó un fractal utilizando un triángulo equilátero como semilla.

En la primera iteración suprimió el triángulo equilátero formado por la unión de los tres puntos medios del triángulo equilátero inicial . Así se obtiene una figura formada por tres triángulos equiláteros iguales.

Observamos que hemos quitado un triángulo y nos quedan 3.

En la segunda iteración en cada uno de los triángulos obtenidos anteriormente, repitió el proceso: suprimió el triángulo equilátero formado por la unión de los tres puntos medios del triángulo equilátero obtenido anteriormente. Esta figura está formada por 9 triángulos equiláteros iguales.

En este caso hemos quitado 4 triángulos y quedan 9.

Se sigue de esta forma hasta la iteración a la que se quiera llegar.

Se han quitado 40 triángulos y quedan 81 triángulos equiláteros.

De manera similar a la construcción del triángulo de Sierpinski se pueden hacer construcciones con otras figuras, por ejemplo con un cuadrado obtenemos lo que se llama alfombra de Sierpinski. El proceso de elaboración de la alfombra de Sierpinski es muy semejante a su triángulo . Dividimos un cuadrado de lado unidad inicial en nueve cuadrados idénticos y recortamos el central. En los cuadrados obtenidos repetimos el mismo proceso y así sucesivamente en las siguientes iteraciones. 

La versión tridimensional del la alfombra de Sierpinski fue creada por Karl Menger en 1926 y se conoce como esponj de Mengerue creada por Karl Menger en 1926. Se trata de un fractal que viene a ser la versión tridimensional del fractal conocido como la Alfombra de Sierpinski.

En el caso de la Esponja de Menger se parte de un cubo al que se divide en 27 cubos iguales. Se eliminan el que queda en el núcleo central y los que están en el centro de cada cara. En los pasos siguientes se repite ese proceso en cada uno de los cubos que van quedando.Si el proceso se reitera tendiendo a infinito, el resultado final sería una figura de superficie infinita y volumen nulo.

En este ejemplo se forma la semilla con tres subpatrones como el patrón diseñado. Se colocan dos alineados y un tercero arriba y centrado. La proporción entre la base y la altura de la semilla es √2.

Las iteraciones se harán de la siguiente manera: se escala la figura obtenida ( en la primera iteración la semilla, en el resto la figura obtenida de la iteración anterior) un 50% , se traslada hacia arriba y se colocan dos figuras alineadas y una tercera arriba de estas dos centrada, se repite el proceso todas las veces que se desee hasta obtener el fractal.

En el siguiente ejemplo se ha jugado con la aleatoriedad, se utiliza el patrón como subpatrón, se colocan dos subpatrones uno al lado del otro y el tercero se coloca al azar, unas veces a la izquierda debajo, otras a la derecha debajo y otras centrado debajo de los dos primeros. Con estos tres subpatrones se obtiene la semilla. El subpatrón inicial se ha escalado al 50%, conservando la proporción inicial del patrón diseñado, luego se ha trasladado hacia la izquierda y arriba para colocar los dos subpatrones siguientes.

En la siguiente animación se puede observar que en la primera iteración se colocan dos subpatrones alineados y el tercer centrado debajo de estos, el resultado obtenido se escala un 50% y se traslada hacia el extremo izquierdo-superior. En la segunda iteración se coloca la figura obtenida una al lado de otra y la tercera debajo a la derecha de los dos primeros subpatrones, el resultado obtenido se vuelve a escalar al 50% y se traslada a la posición inicial. En la tercera iteración se colocan dos imágenes de las obtenidas una al lado de la otra y una tercera debajo de ambas y a la izquierda, la figura obtenida se escala un 50% y se traslada a la posición inicial. En la cuarta iteración, de la figura obtenida se colocan dos una al lado de otra y una tercera debajo de la primera (a la izquierda), se escala la figura obtenida un 50% y se traslada. En la quinta iteración se colocan dos figuras de las obtenidas una al lado de otra, y una tercera debajo y centrada, se vuelve a escalar y trasladar. En la sexta iteración se colocan dos figuras obtenidas de nuevo, alineadas y una tercera debajo de la segunda (a la derecha), se escala y se traslada. En la séptima iteración, dos figuras alineadas y una tercera debajo de la primera (a la izquierda). Con esto obtenemos un fractal tipo Sierpinski aeatorio.

Nótese que a medida que las iteraciones aumentan se deja de percibir el dibujo del patrón inicial pero si aumentáramos de tamaño el fractal veríamos que el dibujo se mantiene ahí, esto es debido a la propiedad de autosemejanza que tienen los fractales.

De todas formas, como una imagen vale más que 100 palabras, te invito a observar la siguiente animación de la contrucción de un fractal tipo Sierpinski aleatorio.