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FRACTAL DE KOCH

Uno de los primeros fractales fue definico por Niels Helge von Koch en 1904. Este objeto es conocido como curva de Koch. Esta curva se trataba de una curva matemáticamente "imposible" porque de ella se deducen estas tres características: No es posible trazar una tangente en ningún punto de su perímetro La longitud entre dos puntos de su perímetro es infinita La curva encierra un área finita La curva de von Koch presenta las mismas características que la costa de una isla. Luego, es correcto afirmar que "la longitud de la costa de Inglaterra es infinita". Si no lo parece es por la RESOLUCIÓN utilizada, es decir, el perímetro depende de la escala en la que se trabaje.

Koch construyó la curva de la siguiente manera: tomó como semilla un segmento. Supongamos que la longitud del segmento sea la unidad: L=1.
El segmento inicial se divide en tres partes iguales, la parte central se sustiruye por dos segmentos de la misma medida formando un triángulo equilátero con el segmento que hemos suprimido. Cada uno de los segmentos obtenidos mide L/3, así pues la longitud de la curva obtenida es 4*(L/3)=4L/3
Cada uno de los segmentos obtenidos de la iteración anterior se vuelve a dividir en tres partes iguales y se procede de la misma manera: la parte central de cada segmento obtenido se sustituye por dos segmentos de la misma medida formando un triángulo equilátero con el segmento que hemos suprimido. En esta iteración cada uno de los segmentos obtenidos mide (L/3)/3=L/9 , y como obtenemos 16 segmentos nuevos la longitud total será 16(L/9)=(4/3)^2L
Se aplica la iteración de nuevo a cada segmento obtenido al dividirlo en tres partes iguales.
Podemos deducir entonces que la longitud de la curva después de n-iteraciones va a ser: (4/3)^n*L. De aquí deducimos que la longitud de la curva Koch es infinita, a medida que crece el número de iteraciones, por tanto, la longitud aumenta indefinidamente, como se comentó anteriormente.

A continuación se puede ver la formación de la Curva de Koch de forma animada:



Copo de nieve de Koch. Este otro fractal fue ideado por Koch de forma similar al anterior pero a partir de los lados de un triángulo equilátero.
Partimos de un triángulo equilátero de lado unidad.
Cada uno de los lados del triángulo lo hemos dividido en 3 partes iguales (1/3) y en la parte central trazamos un triángulo equilátero de lado 1/3
Procedemos de la misma forma en las siguientes iteraciones: dividir cada uno de los lados en 3 partes iguales y trazar en la parte central un triángulo equilátero de lado igual a esa tercera parte obtenida.
Así se obtiene la curva de Koch llamada también copo de nieve de Koch
Observando la figura vemos que el copo de nieve de Koch también tiene una longitud infinita, además la curva da la impresión de tener cierto espesor a causa de sus constantes cambios de dirección, esto sugiere que este figura no es unidimensional. Su dimensión tiene que estar entre 1, la de una recta, y 2, la del plano.

A continuación puedes ver la construcción del copo de nieve en forma animada:


Una variación del copo de nieve es el Anticopo de nieve de Koch, que se construye de manera similar al anterior pero las iteracciones son hacia el interior de la figura, veámoslo: