los mosaicos constituyen todo un mundo dentro del universo del arte y esta página no pretende sinó rendir un pequeño homenaje a esta disciplina y, en concreto, señalar los aspectos matemáticos que le rodean, haciendo hincapié en los métodos utilizados por el artista m.c. escher para su creación.
m.c. escher pasa largas temporadas observando los mosaicos de la alhambra de granada y la mezquita de córdoba y la contemplación de los mismos inspira su obra, así no podemos dejar de mencionar las maravillosas composiciones geométricas y las técnicas utilizadas por los árabes, aunque sea como mera referéncia, para analizar las obras del artista que nos ocupa.
al realizar este trabajo, en mi pequeña incursión en el mundo de los mosaicos, también me han llamado poderosamente la atención dos figuras básicas para la construcción de mosaicos, teselas, conocidas por el nombre de sus creadores: las teselas de penrose y las teselas de truchet, y no he podido resistirme a incluirlas en estas páginas aunque sea como referencia.
espero que los mosaicos os asombren tanto como a mí y esta página os anime y ayude a introduciros en este fascinante mundo de arte y matemáticas, yo he intentado hacer mis 'pinitos'...
como se comenta en la presentación el mundo de los mosaicos es muy extenso y aquí no se pretende tratarlo en profundidad, así que las personas interesadas en el tema pueden visitar el apartado enlaces para encontrar información complementaria.
nosotros nos vamos a centrar en dos de los métodos, o trucos, utilizados por m.c. escher para la creación de algunos de sus más famosos mosáicos y que ya podemos apreciar en algunos mosaicos árabes:
método 1:
sobre una figura geometrica regular se realizan recortes sobre un lado y estos se trasladan de forma paralela a su lado opuesto.
método 2:
sobre una figura geométrica regular se determina el punto médio de cada uno de sus lados.
se realizan recortes en la figura y se les aplica un giro de 180º respecto al punto medio de su lado hasta que estos queden situados sobre la parte externa de la figura.
(ver animación) (ver animación) la mayoría de culturas utilizaron giros, simetría y traslaciones sobre figuras regulares para la creación de sus mosaicos y obras de arte, pero son los árabes los que introducen la transformación de las figuras en unas nuevas y desconocidas a base de aplicar recortes y giros de las piezas recortadas en la figura original.
esta transformación de las figuras regulares unida al uso de brillantes y coloridos esmaltes y la total ausencia de figuras humanas en sus mosaicos (esta última condición es uno de los preceptos de su religión) nos sumergen en maravillosos jardines de brillantes hojas o preciosas composiciones que semejan piedras preciosas cuando accedemos a lugares como la alhambra de granada o la mezquita de córdoba.
en las imágenes de la izquierda, si presionas el botón animar, podrás ver como aplicaban las técnicas de creación de mosaicos descritas en la introducción.
mediante cortes y giros se crea una original tesela a partir de una figura regular
maurits cornelis escher (paises bajos 1898 - 1972), del cual sus biógrafos dicen que era un mal estudiante que ni tan solo destacó en dibujo hasta una edad bastante adulta, ha sido uno de los artistas con mayor reconocimiento entre matemáticos y cristalógrafos. indagó en lo imposible, su obsesión por plasmar la tridimensionalidad en soportes bidimensionales produjo obras increibles y fantásticas que aún hoy son motivo de estudio.
una curiosidad insaciable le condujo al estudio del arte de los mosaicos y observó las técnicas utilizadas por los árabes. desarrolló sus própios métodos. la aplicación de transformaciones geométricas sobre figuras regulares producen, en su obra, fantásticos resultados que se traducen en increibles teselas que cubren el plano sin espacios vacios ni solapamientos.
presionando sobre las imágenes de la izquierda accederás a las animaciones en las que se puede observar la aplicación de los métodos mencionados en la introducción a dos de sus maravillosos mosaicos:
método 1: bird simetry e128
método 2: reptiles
sir roger penrose (reino unido 1931) es un físico matemático de la universidad de oxford que ha dedicado parte de sus estudios a las matemáticas recreativas. en este campo ideó unas losetas a partir de una figura geométrica regular, que permiten la creación de mosaicos no periódicos, aquellos en los que ninguna de sus piezas individuales, ni los subconjuntos ni el mosaico completo generan pavimentos períodicos pero generan un mosaico no regular, que mediante el giro o traslación de sus piezas recubren totalmente el plano sin espacios vacios ni superposiciones.
estudios posteriores han determinado que las mallas resultantes, de sus mosaicos, son aplicables al estudio de la estructura de los materiales conocidos como cuasicristales.
penrose divide un rombo de 72º en dos partes que se obtienen al dividir la diagonal mayor según la razón áurea, dando lugar a dos teselas conocidas como 'el dardo' y 'la cometa'.
presiona el botón animar de la imagen de la izquierda para ver la creación de la tesela base.
el padre sebastien truchet (lyon 1657-1729) era un matemático, ingeniero hidráulico e inventor que demostró su curiosidad en muchos campos (como tipógrafo es el autor del romain du roi). en 1704 realizó un estudio sobre todas las combinaciones posibles que se podian realizar con teselas cuadradas que tuviesen la mitad de su superficie diagonal cubierta por un color diferente: 
a partir de estas teselas básicas, diferentes estudiosos realizaron transformaciones:
que al suprimir el coloreado redujo el número de figuras a dos.
que también redujo el número de figuras a dos y en sucesivas variaciones finalmente a una transformando la teselaen un cuadrado con dos arcos, de igual radio, en dos de sus vértices opuestos.pues si, olga merino soy yo misma, la autora de estas páginas, que fascinada por los resultados obtenidos por escher me he atrevido a probar sus métodos para la construcción de mosaicos.
dudo que mi obra la celebren ni entendidos en arte ni matemáticos y cristalógrafos, pero debo confesar que he disfrutado muchísimo inentando emular a escher. todo el proceso creativo, desde la idea inicial, su traducción y adaptación a figuras geométricas regulares aptas para la elaboración de mosaicos, el dibujo a mano del motivo, el diseño y recorte de las piezas, el tratamiento con programas de edición, hasta la creación de la animación me ha parecido muy estimulante y divertido.
mi consejo es que lo comprobeis por vosotros mismos, probad a diseñar un mosaico !!
si presionais sobre las imágenes de la izquierda accedereis a unas presentaciones donde se explican los métodos de creación.
no espereis 'la mágia' de escher, sus maravillosos dibujos, pero es que eso no se aprende con un método por sencillo que sea...
existe gran cantidad de información en la red sobre mosaicos, los tipos, las técnicas, los autores, sus aplicaciones, etc. relaciono las que me han parecido más interesantes o me han proporcionado mayor información:
http://www.scienceu.com/geometry/articles/liting/wallpaper.html
completa y gráfica descripción de los 17 grupos de isometrías existentes para la confección de mosaicos
http://www.mcescher.nl/indexuk.html
página oficial de m.c. escher
http://www.edu.aytolacoruna.es/centros/iesadormideras/mosaicos/
información sobre mosaicos explicada de forma sencilla y con buenos enlaces
http://personal.telefonica.terra.es/web/imarti22/mosaicos/mosaicos.htm
ilustrativa página con animaciones sobre mosaicos nazaríes
http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/grabados_de_escher/reptiles.htm
educativa página con animaciones sobre la creación de mosaicos de escher
http://hypo.ge-dip.etat-ge.ch/www/math/html/node17.html
completa página que habla de las teselas de truchet
http://mathworld.wolfram.com/PenroseTiles.html
página sobre mosaicos de penrose
